作者｜曹亮吉

來源｜選自《漲本事的數學密碼書》之《藏在旅行中的數學》分冊，好玩的數學數學獲授權轉載。

***數字、東西大不同？

第一次到印度及尼泊爾地區旅行，我就注意到他們的汽車車牌，有的用我們熟悉的***數字，有的則用另一種數字；我猜應該是梵文數字，它是***數字的前身。幸好有的車掛兩個車牌，一左一右，一是***數字，一是梵文數字。經過幾次的做筆記，幾次的核對，不久我就有了兩種數字的對照，如下表中一、三兩行所示：回家后查了資料，大致了解了***數字的歷史。印度在公元前三世紀的阿育王時代，就有了1至9的婆羅門數字（表中的第四行），后來逐漸演變成梵文數字。不過依據現有文獻，代表零的符號，要遲至九世紀才出現在瓜廖爾（Gwalior）地方小廟的墻上。瓜廖爾位于以泰姬陵出名的阿格拉（Agra）正南方約100km的地方。一般旅客會到那里，是去看雄偉的瓜廖爾城堡，及堡內富麗堂皇的廟宇與宮殿。大概很少人會去注意那個小廟及那個小小的0。公元七世紀***人興起，到九世紀時，吸收了印度（梵文）數字，逐漸發展成東***數字（前面表中第二行）及西***數字兩種寫法。西***數字再傳到歐洲，就是現在所說的***數字。東***數字現在仍然流行于埃及、敘利亞、***、波斯等地區，你可在這些地區的機場看到東、西***數字的并列使用，來驗證東***數字的寫法。（伊朗的兒童電影《天堂的孩子》中，參加馬拉松賽跑的小朋友，胸前的號碼布條上所寫的就是東***數字。）從婆羅門數字到***數字，我們可以觀察其演變。有些演變有跡可循，譬如1、2、3；有些像5的變化，就看不出所以然。***數字還會演變嗎？我猜不會，因為現在計算機通行全世界，這些數字寫法已經標準化了；我相信手寫的變體4及7逐漸會消失。不過從表中，我們看出最特別的是婆羅門數字沒有0，梵文數字才有0，這是***數字能夠征服世界的秘密所在。想想看，沒有0會怎么樣？102要寫成為12，120的寫法也一樣，兩者連同12就分辨不出來。也許102該寫成為12，1與2之間空一格；而120該寫成12，后面空一格，傳統的籌算記法就是如此（∣∣∣或∣＝）。不過空幾格不容易寫清楚、看清楚，于是中文就有了位名：一百二（102）或一百二十（120）。沒有0，就要生出十、百等位名，才能解決問題。計算時，幸而有位置定值的籌算或算盤，才不會受到位名的干擾。歐洲人原來用的記數系統也都需要位名的幫忙（計算時則用類似于算盤的算板）。有了***數字，用十個符號就能寫下任何的數目，而且可以直接用來計算。有人說0是數學中最偉大的發明，它原本代表沒有，但它在位值表法的系統中，往往無中生有，確切表示出數目來。***數字通行全世界，讓我們出門在外買東西殺價，不怕弄不清楚：用***數字筆談可也。野獸的房間旅行團來到非洲津巴布韋維多利亞市，準備觀賞維多利亞瀑布及鄰國博茨瓦納的丘比（Chobe）國家公園。在象丘飯店（ElephantHillsHotel）里，領隊依例讓團員自選房間鑰匙，有對夫婦很高興搶到了666號房間的鑰匙──六六大順，六六六大大順了！到了六樓，從電梯旁的房間開始，660、661……665，再隔壁一間，奇怪了，居然是665A，再隔壁一間是667。666在哪里?。炕仡^找柜臺，柜臺說665A就是666，但說不出為什么?！妒ソ洝⑹句洝?3:18節說666是“野獸數”，聰明的人可算出誰有“野獸數”，就知道誰是那頭害人的野獸。我知道在基督教的世界里，666成了邪惡的數目，但房間號碼避開不用，倒是開了眼界。古代的希臘借用字母來表數目：第一個到第九個字母依序表1到9；第十到第十八字母依序表10、20到90；第十九到第二十七字母依序表100、200到900。在這個系統中，至多用三個字母就可以表1到999的任一個數目。如果要表1000，則在表1之字母a的前面加一逗點成“,α”，以此類推。希臘原有24個字母，再借用三個外來的字母?、?、?。字母、發音及相應數目如表所示：（希臘字母無法正常顯示）拉丁的字母就是從希臘字母演變來的，所以英文取希臘頭兩個字母，而稱字母為alphabet。西方數學源自希臘，所以常用希臘字母作為數學符號。“阿門”（Amen）的希臘文為αμην，這4個字母各表1、40、8、50，相加得99，所以希臘祈禱文的最后會寫上代表99的兩個字母?θ。把一個人名字的字母，改成相應的數目再加起來，就是這個人的“數目”。占卜者可用每個人的“數目”來預卜其前途。這種想法還傳到其他地方，成了西方的一種“術數”。譬如兩個人決斗，可先算這兩個人的“數目”，譬如各得503及718，然后算其9余數，各為8及7，那么9余數大者決斗會贏。一個人的“數目”如果是“野獸數”666，他就是野獸了。那么《圣經·啟示錄》13:18節所指的野獸是誰呢？當然，一再嘗試，可讓很多人現形，其中最有名的是羅馬皇帝尼祿。這是猶太人把尼祿皇帝（CaesarNero）用希伯來字母寫出來后，依據字母換數目，再相加所得的結果。用拉丁文、希臘文，尼祿不是野獸，但殺害猶太人的尼祿，用了希伯來文就算出了真面目。數本來是用來數東西的多少，或表示量的多寡，但東西文化都一樣，會把數神秘化，而衍生了種種的“術數”。到維多利亞瀑布，可順道過邊界，到博茨瓦納的丘比國家公園，近距離看象群。

解讀羅馬數字

有些大建筑在其墻面上會留下建造的年代。在歐美通常用公元年代，有的用***數字，有的用羅馬數字來表示。所以看得懂羅馬數字，在歐美旅行會增加一些樂趣。

不出國，偶爾能看到羅馬數字的地方，是有些大鐘的鐘面上。我們就從這種鐘面上的1至12，I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII、IX、X、XI、XII，來開始認識羅馬數字。

1是I，2是兩個I：II，3是三個I：III。4照理說應該是四個I，但卻寫成IV，它的意義從5（V）與6（VI）就可看得出來：顯然5用了一個新的字母V來代表，6（VI）當然就是5+1了。那么4（IV）就可以解釋成5-1。相對于I擺在V的右邊表5+1（加法原理），I擺在V的左邊就是5-1（減法原理），如此一來VII表7，VIII表8就很自然，而認定新出現的字母X表10，則IX表9，XI表11，XII表12也就理所當然。

羅馬數字以L表50，C表100，D表500，M表1000，加上已經知道的I表1，V表5，X表10，再用上述的加法原理及減法原理，則用這些字母就可表示4000以下的數目了。

那么4000怎么表示？引用前面的原理，就先要有一個字母表5000。但羅馬人沒用一個字母表5000，而是用MMMMM來表示；當然4000就用MMMM表示了。簡單說，有多少個千，就用多少個M來表示。大概羅馬人很少用到5000以上的大數目吧！

建筑上有MCMLX，表示它是1960年建造的?？刹豢梢园袽C看成1100，加上MLX（1060），就是2160？不可以，因為C在第二個M的左邊，而C比M小，所以就表示M-C，就是900。

用希臘字母表數目，字母的順序是無關緊要的，代價是要用較多的字母。用羅馬字母表數目，所用的字母較少，但順序就得注意點。用***數字，順序變成絕對重要，因此用十個數字符號，就可表任何數目。這十個數字中，0最重要了。古希臘或羅馬都沒有代表0的數字符號，60就用LX表示，601就用DCI表示。古代的中國也沒有0，60就用“六十”表示，601就用“六百一”表示；“六百一”不是610，“六百（一）十”才是610。

羅馬數字與***數字不同，不是位置定值的，因此數目之間的四則運算就無法有效進行。譬如兩數相乘，你如果將乘數與被乘數的數字字母成對相乘，其后并不能把各乘積就相加，因為表一個數時，字母之間有時用的是減法。

羅馬人雖然用字母的組合表數目，但做四則運算時，則用算板。算板上畫著幾條平行的直線，就像五線譜那樣：第一線是表1的位置，第一間是表5的位置，第二線是10，第二間是50，以此類推。將4顆石頭擺在第一線上就代表4；第一間放著1顆石頭就代表5，若再加進第2顆石頭，5×2得10，可把這兩顆石頭拿掉，代之以1顆石頭放在第二線上。

古老的大鐘面常用羅馬數字。此為瑞士伯爾尼市區內的牢獄塔。

算板上的擺法與算法，其實和算盤很類似。兩者數目的表法其實是***式的位置定值法（只是多了5、50等輔助值），而不是羅馬式的。位置定值法所需表空位的0，算板（或算盤）只在相應的位置不擺石頭就好了。

羅馬人的記數法和算術的計算無關，而***的記與算則是合二為一的。西方人一開始沒有馬上接受***數字，不過到底記與算合一是非常方便的，所以***數字終于征服了西方人，乃至全世界的人。

***數字是排列式的，羅馬數字是半組合、半排列的，希臘數字是組合式的，于是，排列征服了組合。

不過羅馬數字還是掙扎著留在建筑的墻面上、大鐘的鐘面上，因為人有懷舊的心理，就像家里掛著甲骨文的字帖那樣。

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